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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{25-基础解系-线性方程组的解集 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年12月20日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  线性方程组的几种记号
\item  齐次线性方程组的解空间
\item  基础解系
\item  非齐次线性方程组的导出组
\item  非齐次线性方程组的解集

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.1. 线性方程组的三种形式 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  第一种形式是传统形式\,\, 
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{lcc}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &=& b_1, \\  
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &=& b_2, \\ 
\cdots \cdots &&  \\  
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &=& b_m. 
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
}

\vspace{0.5cm}

\item  第二种形式是向量方程 \, 
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
x_1\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} 
+
x_2\begin{pmatrix} a_{21} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} 
+ \cdots +
x_n\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}. 
$%\end{eqnarray*}
} 

简记为 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n = \beta$. 

\vspace{0.5cm}

\item  第二种形式是矩阵方程 \, $AX=\beta$. 
%{\footnotesize 
%\begin{eqnarray*}
%AX=B. 
%\end{eqnarray*}
%}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.2. 线性方程组有解的充分必要条件 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理：下述每个条件都是线性方程组 $AX=\beta$ 有解的充分必要条件：}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}增广矩阵 $\bar{A}=(A,\beta)$ 的秩等于系数矩阵 $A$ 的秩。}
\item  {\color{red}增广矩阵 $\bar{A}=(A,\beta)$ 的列秩等于系数矩阵 $A$ 的列秩。}
\item  {\color{red}系数矩阵的列空间等于增广矩阵的列空间，即 
{%\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta). 
\end{eqnarray*}
}}

\vspace{-0.5cm}

\item  {\color{red}常数列向量 $\beta$ 可由系数列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，即
{%\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\beta\in L(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n). 
\end{eqnarray*}
}}

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.3. 齐次线性方程组的解空间 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}定理：设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，设 $X=(x_1,\cdots,x_n)^t$ 是 $n$ 维列向量，由 $n$ 个未知数组成。则齐次线性方程组 $AX=0$ 的解集
$$ V = \{X\in\mathbb{R}^n \mid AX=0\}$$
是 $\mathbb{R}^n$ 的一个向量子空间。
}

\vspace{0.5cm}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  因为零向量 $X=0$ 是 $AX=0$ 的一个解向量，所以这个解集是非空的。
\item  设 $A\xi_1=0, A\xi_2=0$, 设 $k_1,k_2\in\mathbb{R}$, 则有 $A(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=0$, 因此这个解集中的向量在 $\mathbb{R}^n$ 的加法与数乘运算下的结果仍在这个集合中。 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.4. 基础解系的概念 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间的任意一个基，都称为这个齐次线性方程组的一个基础解系。}

\vspace{0.5cm}

\item  例子1：求下述齐次线性方程组的一个基础解系，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rrrrrr}
x_1& + 4x_2& + 7x_3& + 10x_4 &=& 0, \\  
2x_1& + 8x_2& + 5x_3& + 11x_4 &=& 0, \\  
3x_1& + 12x_2& + 12x_3& + 21x_4 &=& 0.
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\item  注：
\begin{enumerate}
\item  一个齐次线性方程组有无穷多个基础解系，除非它只有零解。
\item  从行最简形得到的基础解系是唯一确定的。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.5. 例子1的解答 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  将系数矩阵化为行最简形，
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&4&7&10 \\ 2&8&5&11 \\ 3&12&12&21 \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{行初等变换}
\begin{pmatrix} 1&4&0&3 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}. 
$%\end{eqnarray*}
}

\vspace{0.2cm}

\item  将 $x_2, x_4$ 作为自由未知量，可得通解为 
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x_1 &=& -4x_2 -3x_4, \\
x_3 &=& -x_4. 
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
}

\vspace{0.2cm}

\item  把通解写成向量形式为 
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}  x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=
x_2 \begin{pmatrix}  -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 
+ 
x_4 \begin{pmatrix}  -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \,\, x_2,x_4\in\mathbb{R}.  
$%\end{eqnarray*}
}

\vspace{0.2cm}

\item  基础解系可取为 $ \eta_1=(-4,1,0,0), \eta_2=(-3,0,-1,1)$. 


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.6. 基础解系中的向量个数 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理：设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$, 则齐次线性方程组 $AX=0$ 的每个基础解系都正好有 $n-r$ 个向量。这也是解空间的维数。}

\item  证明：
\begin{enumerate}

\item  将系数矩阵 $A$ 用行初等变换化为行最简形 $B=PA$.  

\item  即找到一系列初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s$ 使得 $P_s\cdots P_2P_1 A = B$. 

\item  因为初等矩阵都是可逆的，所以 $AX=0$ 与 $BX=0$ 有相同的解空间。 

\item  因为初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵 $B$ 的秩也是 $r$.  

\item  因为 $m\times n$ 矩阵 $B$ 是秩为 $r$ 的行最简形，所以它有 $r$ 行不为零行。

\item  线性方程组 $BX=0$ 有 $n-r$ 个自由未知量。

\item  线性方程组 $BX=0$ 的通解里有 $n-r$ 个任意常数。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.7.   }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子2：从下述行最简形 $B$ 写出 $BX=0$ 的通解与基础解系，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
B=\begin{pmatrix} 1&0&0&2&3 \\ 0&1&0&4&5 \\ 0&0&1&6&7 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  解答：可见 $x_4, x_5$ 为自由未知量。通解为 
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x_1 &=& -2x_4 -3x_5, \\
x_2 &=& -4x_4 -5x_5, \\
x_3 &=& -6x_4 -7x_5. 
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
}

取 $(x_4,x_5)$ 分别为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$, 可得基础解系为 $$ \eta_1=(-2,-4,-6,1,0),\,\, \eta_2=(-3,-5,-7,0,1). $$


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.8.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子3：设矩阵 $A$ 是 $4\times 5$ 阶的，且秩为 $3$. 设矩阵 $A$ 的第一列元素不全为零。写出 $A$ 的行最简形的各种可能形式。 

\item  解答：根据阶梯所在位置的不同，可得下述各种形式，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&0&0&*&* \\ 0&1&0&*&* \\ 0&0&1&*&* \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 1&0&*&0&* \\ 0&1&*&0&* \\ 0&0&0&1&* \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 1&0&*&*&0 \\ 0&1&*&*&0 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \\
\begin{pmatrix} 1&*&0&0&* \\ 0&0&1&0&* \\ 0&0&0&1&* \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix},  \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 1&*&0&*&0 \\ 0&0&1&*&0 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 1&*&*&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.  
\end{eqnarray*}
}



\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.9. 导出组 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：由非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 导出的齐次线性方程组是指 $$AX=0. $$ }

\item  例子4：设 $\xi$ 和 $\eta$ 都是 $AX=\beta$ 的解向量，则 $\xi-\eta$ 是 $AX=0$ 的解向量。

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  由 $A\xi=\beta$ 和 $A\eta=\beta$ 可得 $A\xi - A\eta =0$. 
\item  根据矩阵乘法的分配律，可得 $A(\xi-\eta) =0$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.10. 非齐次线性方程组的解集 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}定理：
设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，设 $X=(x_1,\cdots,x_n)^t$ 是 $n$ 维列向量，由 $n$ 个未知数组成。
设向量 $\xi$ 是 $AX=\beta$ 的一个特解，即 $A\xi=\beta$. 
设向量组 $\{\eta_1,\cdots,\eta_t\}$ 是导出组 $AX=0$ 的一个基础解系。
则非齐次线性方程组 $AX=\beta$ 的解集为 
\begin{eqnarray*}
S &=& \{ X \in\mathbb{R}^n \mid AX=\beta \} \\  
    &=& \{ \xi + k_1\eta_1+\cdots + k_t\eta_t \mid k_1, \cdots, k_t\in\mathbb{R} \}. 
\end{eqnarray*}
}

\vspace{-0.5cm}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  设任意一个解向量 $X\in S$, 即 $AX=\beta$. 
\item  于是有 $A(X-\xi)=AX-A\xi=\beta-\beta=0$. 
\item  这样 $X-\xi$ 就是导出组 $AX=0$ 的解向量。 
\item  因此 $X-\xi$ 可以表示为 $AX=0$ 的基础解系的线性组合。
\end{enumerate}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.11. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子5：画出非齐次线性方程 $2x_1 + x_2=1$ 的解集。
\item 解答：
\begin{enumerate}
\item 先画出导出组 $2x_1 + x_2=0$ 的解空间，这是过原点的一条直线，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
V = \left\{ k\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \mid k\in \mathbb{R} \right\}. 
\end{eqnarray*}
}

\item 然后通过一个特解进行平移，这是不过原点的一条直线，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
S = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \mid k\in \mathbb{R} \right\}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.12. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子6：求齐次线性方程组的系数矩阵的行最简形，并写出基础解系，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rrrrrr}
x_1& - x_2& + 5x_3& - x_4 &=& 0, \\  
x_1& + x_2& -2 x_3& + 3x_4 &=& 0, \\  
3x_1& - x_2& + 8x_3& + x_4 &=& 0, \\  
x_1& + 3x_2& -9 x_3& + 7x_4 &=& 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\item  解答：行最简形为 
{\footnotesize 
$%\begin{eqnarray*}
RREF(A) = \begin{pmatrix} 1&0&\frac{3}{2}&1 \\ 0&1&-\frac{7}{2}&2 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\  \end{pmatrix}. 
$%\end{eqnarray*}
}
基础解系为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\eta_1 = (-\frac{3}{2},\frac{7}{2}, 1,0), \,\, 
\eta_2 = (-1,-2, 0,1). 
\end{eqnarray*}
}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.13. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  求非齐次线性方程组的增广矩阵的行最简形，并由此写出解集，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rrrrr}
x_1& + x_2& + x_3 &=& 3, \\  
x_1& + 2x_2& + 3x_3 &=& 6. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\item  求齐次线性方程组的系数矩阵的行最简形，并由此写出基础解系，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rrrrrrr}
x_1& + x_2& + x_3& + x_4& + x_5 &=& 0, \\  
3x_1& + 2x_2& + x_3& + x_4& -3 x_5 &=& 0, \\  
5x_1& + 4x_2& + 3x_3& + 3x_4& - x_5 &=& 0, \\  
& x_2& + 2x_3& + 2x_4& + x_5 &=& 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{25.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  答案：解集为 $\{(0,3,0) + k(1,-2,1) \mid k\in \mathbb{R} \}$. 这是 $\mathbb{R}^3$ 中的一条直线。

\item  答案：系数矩阵的行最简形为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
RREF(A) = \begin{pmatrix} 1&0&-1&-1&0 \\ 0&1&2&2&0 \\ 0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0 \\  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
基础解系为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
%\{
\eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0   \end{pmatrix}, \,\,  
\eta_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0   \end{pmatrix}. 
%\}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

